مقدمة
هندسة الفراكتال Fractal Geometry:




يعتبر مصطلح فراكتال Fractal من المصطلحات الجديدة في الأدبيات العربية لتعليم الرياضيات، ولذلك لم يستطع الباحث تقديم ما يناظره باللغة العربية، ولكن بالرجوع الي مصادر عديدة مثل اساتذة الرياضيات بكلية العلوم والقواميس اللغوية وكذلك الدراسات والبحوث المرتبطة بالفراكتلات Fractals أمكن التوصل للتالي:

ابتكر مانديلبروت Mandelbrot كلمة فراكتال Fractal لتصف وتشرح العديد من الظواهر الطبيعية، وإن كلمة فراكتال تأتي من الفعل اللاتيني franger والذي يعني يفتت أو يكسر (Gleick 1987)، وهذا الفعل يرتبط بوصف الخصائص الطبيعية للأشياء، فهي تبدو (مفتتة) غير مستوية، في أشكال مركبة ومعقدة مثل التغيرات المتعرجة جدا لساحل جزيرة ومقارنة ذلك مع المنحنى الاقليدي المنبسط، ويشير البعض الى ان مانديلبروت هو مؤسس هندسة الفراكتال كما أسس اقليدس Euclid الهندسة الأقليدية (Camp,2000)،وبتحديد مانديلبروت لأهم خصائص هندسة الفراكتال فان مصطلحا مثل "الهندسة الماندلية" (Mandelbort Geometry) يمكن قبوله للإشارة الى هندسة الفراكتال على اعتبار ان الهندسة الماندلية تتعامل وفقا لخصائص فريدة قدمها ماندلبروت في كتابه The Fractal Geometry of Nature الذي نشر عام1983(Camp,2000,710).

كما أن اسم فراكتال يأتي من الكلمة اللاتينية fractus وتعني تكسير أو تفتيت، وهي تعطى لمجموعات غير عادية وهناك شقين لها: الأول وهو الفراكتلات الطبيعية real fractals وهي الأشكال والأشياء المرتبطة بالطبيعة والمرتبطة بالعلوم والثاني في الرياضيات والذي يهتم بدراسة مجموعة الفراكتلات التي غالبا يكون لها جذور في نظرية القياس النفسي.



وقد أصبحت الفراكتلات جزءا من الرياضيات فبالإضافة إلى تقديمها إمكانية تكوين الأشكال والصور بشكل جذاب وجميل فإنها أيضا تقدم لنا إطارا نظريا لتطوير موضوعات أخرى، مثل تمثيل الظواهر الطبيعية كنمو الخلايا البكتيرية أو نمذجة الأشياء مثل النباتات وغيرها.

ويعرف كلافام (Clapham,1996.103) الفراكتال على أنه مجموعة من النقط لا تتكامل أبعادها المتجزئة أو أي مجموعة ذات تركيب مماثل، وتعتبر الفراكتلات مجموعات ذات تراكيب غير منتهاه التعقيد، وعادة ما تحتوي على بعض القياسات ذاتية التشابه، فأي جزء تحتويه داخلها يعتبر نسخة مصغرة للمجموعة كلها. ويرتبط التعريف السابق مع تعريف القاموس الالكتروني حول خصائص الفراكتال، فيعرف الفراكتال على أنه نمط هندسي يتكرر على مقاييس تتزايد في الصغر وتؤدي إلى أشكال وأسطح غير منتظمة لا يمكن تمثيلها من خلال خصائص الهندسة الاقليدية. وتستخدم في نمذجة الأنماط والتراكيب الطبيعية غير المنتظمة بالحاسوب (www.dictionary.com).



وتصف راندي (Randi,1999,260) هندسة الفراكتال بأنها هندسة الطبيعة نظرا لارتباطها بالأشياء الطبيعية، وللظواهر الطبيعية. وهو ما يؤكده جليك(Gleick,1997,91) من أن هندسة الفراكتال تتيح لنا ربط الرياضيات بالعالم خارج الفصل الدراسي، فهي بذلك تفجر طاقات الابداع والخيال لدى الطلاب لارتباطها مباشرة بكيفية تنظيم العالم من حولنا (Naylor,1999,360). وقد قدمت هندسة الفراكتال في أواخر القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين، فالرياضيون مثل كانتور Cantor ، وكوش Koch، وجوليا Julia وكذلك فاتو Fatou قد اكتشفوا ما نسميه الآن ونعتبره الفراكتلات الكلاسيكية، وقد اختلفت أغراضهم من دراستهم للفراكتلات، كانتور مثلا طور ما هو معروف الآن بمجموعة كانتور في أعماله المرتبطة بنظرية الفئات بينما اهتم جوليا بإيجاد جذور ع 3 - 1 = 0 باستخدام طريقة نيوتن، وقد اهتم ماندلبروت باستخدام الحاسوب في برمجة حركة النقط وطور ما يعرف الآن بمجموعة ماندلبروت.

كما أن الهندسة التقليدية تقدم التقريب الأولي لتركيب الأشياء الطبيعية، فهي اللغة التي نستخدمها للاتصال بتصميمات المنتجات التكنولوجية، فإن هندسة الفراكتال تعتبر امتدادا لها، حيث يمكن الاستفادة منها في عمل نماذج دقيقة للتركيبات الطبيعية، وبذلك فهي تعتبر لغة جديدة، عندما تتحدثها فإنك تستطيع وصف شكل السحب بدقة تامة (Barnsley,1988,1).

مما سبق يمكن وصف هندسة الفراكتال على انها:

· أشكال هندسية غير منتظمة تتكون من اجزاء غير منتهية ومتداخلة بمختلف القياسات.

· هي تلك الصور التي تنتج من تكرار المعادلات اللا خطية.

· أشكال هندسية نتجت أو نمت نتيجة تطبيق بعض القواعد الرياضية عليها، وهذه القواعد تأخذ الشكل الأساسي وتنقله من خطوة الي خطوة اما بالإضافة اليه أو بتطويره وهذه العمليات يمكن ان تكرر بعدد غي منته من المرات.

· أشكال هندسية تنتج من تقسيم الشكل الأساسي الي أجزاء صغيرة وكل جزء هو صورة مصغرة من الشكل الأساسي.

وتتميز هندسة الفراكتال بخصائص اساسية تعطي لها ذلك التركيب الفريد من بين فروع الهندسة الأخرى، ومنها:

1. التشابه الذاتي Self-Similarity

2. البعد الفراكتالي Fractal Dimension

3. قاعدة الأحلال Replacement Rule

وعندما تقدم الفراكتلات علي انها اشكال هندسية تنتج من تطبيق نمط هندسي معين علي احد الأشكال الهندسية عدة مرات، فان خصائص هذه الأشكال تتمثل في التالي:



1. التشابه الذاتيSelf-Similarity:

التشابه بين الأجزاء المكونة للشكل، اي ان الجزء من الكل يشبه تماما ذلك الكل،فاذا اخذنا جزءا متكاملا من الأجزاء المكونة للشكل الفراكتلي، ثم قمنا بتكبيره عدة مرات فإننا في النهاية سوف نحصل علي الشكل الأصلي. وهناك العديد من المواقع في شبكة الأنترنت التي تقدم لهذه الخصائص، وان كان موقعا مثل www.techlar.com/fractals/ يقدم بطريقة حركية عن طريق اختيارنا لأي جزأ من الشكل وتكبيره عدة مرات حتى نصل الى الاقتناع بوجود خاصية التشابه الذاتي للشكل.

2. البعد الفراكتلي Fractal Dimension:

اذا علمنا انه في الهندسة التقليدية فان النقطة ترسم في البعد الصفري، أي ليس لها بعد، وان الخطوط المستقيمة لها بعد واحد، بينما ترسم المربعات و الأشكال الهندسية المستوية الأخرى في بعدين، وكذلك نعرف ان المكعب والأسطوانة والكره ترسم في ثلاثة ابعاد، فما هو البعد الفراكتلي؟..ان الأبعاد السابقه في الهندسة الأقليدية لا تعتبر مناسبة مع تركيب الشكل الفراكتلي، فمنحنى كوش Koch مثلا له ابعاد ≈ 1.26 أي بين 1 و 2 وهذا يعكس حقيقة ان مجموعة النقط كثيفة ليمكن عدها لمنحنى وكذلك رفيعة جدا لنحسبها كمساحة، ولذلك فان البعد الفراكتلي أوجد العديد من التطبيقات العملية في تحليل العمليات الفوضوية chaotic. (Clapham,1996,103). ولذلك فان البعد الفراكتلي بشكل عام ليس عدد وليس قيمة عددية، ومنحنى الفراكتال يعتبر أحد الأبعاد للأشياء في المستوى الذي له بعدين ويقع بين 1 و 2 بالمثل كما السطح الفراكتلي fractal surface له بعدين ويقع بين 2و3، فالقيمة تعتمد علي كيفية انشاء الفراكتال.

3. قاعدة الأحلال Replacement Rule:

عندما ننشئ فراكتال محدد فانه من خلال خطواتنا لإنشاء فراكتال آخر، فان احد الأشياء المرسومة يمكن ان تحل مكان الآخر والتي تكون اكثر تركيبا من سابقتها ولكنها تملأ نفس المكان الأصلي.(McGuire,1991,15).

وترتبط هندسة الفراكتال بهندسة التكراراتIteration Geometry ،حيث يكرر الشكل الهندسي وفقا لقاعدة رياضية محددة فيكون الشكل المكرر هو صورة من الشكل الأصلي وفقا لخصائص القاعدة المطبقة.




:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ::::::::::::::::

SIZE]